학부로 물리학 전공을 했으면서도 너무 오래되고 암기식으로 공부해서 백지상태가 되버렸다. 학부 때 일상처럼 만나던 자연상수 “e”는 중고교 과정에서 배운건데도 다 까먹음. 사실 그냥 미적분학부터 전부 백지상태임 ㅋㅋㅋ 미적분, 미분방정식, 선형대수 까지는 어디서나 써먹을 수 있는 수학적 지식이고 이정도는 다시 공부해놔도 좋겠다 싶다. 오늘은 간단하게 exponential, 자연상수 e에 대해.
검색해보면 어떻게 발견했고 그런 역사적인게 나오는데 뭐 잘 모르겠고, 정의는 다음과 같다.
e = \lim\limits_{x \to 0}(1+x)^{1/x} = 2.718...통계적인 값에 자주 등장하고 미분을 해도 그대로이므로 유용하게 쓰이는 것으로 보인다. 일상의 예로 복리계산, 반감기등에 사용된다.
예를들어 1년에 1번줄 이자를, 2번 주면서 이자율을 1/2로 낮추고, 3번으로 늘리면서 이자율을 1/3으로 낮추는 식으로 횟수를 무한히 늘려가면 다음과 같이 수식으로 표현 가능하다. 편의상 원금을 100만원, 이자율을 r이라 해보자.
100 \cdot \lim\limits_{x \to \infin}(1 + \frac r x)^x = 100 \cdot \lim\limits_{x \to \infin}(1+\frac r x)^{\frac x r \cdot r} = 100 (\cdot \lim\limits_{x \to \infin}(1+\frac r x)^{\frac x r})^r \\
= 100 (\cdot \lim\limits_{n \to 0}(1+n)^{\frac 1 n})^r = e^r
이처럼 자연상수로 표현이 된다.
물리학의 통계역학 볼츠만 분포를 유도하면 이 자연상수가 사용되기도 한다.