Differential Equation – 배토의 개발일지

Directly Integrable D.E.
Separable D.E.
Linear 1st order D.E. : Integrating factor
Homogeneous 1st order D.E.
Bernoui D.E.
Exact D.E.
Linear 2nd order D.E.
2nd order D.E. : Reduction of order
2nd order D.E. : Constant Coefficients
2nd order D.E. : Undetermined Coefficients
Wronskian For a Group of Functions
2nd order D.E. : Variation of Parameters
Cauchy-Euler Eq.
Laplace Transform
Linearity of Laplace Transforms
Laplace Transforms of Derivatives
Laplace Transforms to Solve D.E.
Unit Step Function
Laplace Transforms Involving the Unit Step Function
Impulse and Dirac Delta Function
How to shift the Index for Power Series
Solving D.E. with Power Series
Solving D.E. Linear system with eigenvalue and eigenvector

Directly Integrable D.E.

그냥 적분하면 되는 형태.

\begin{matrix} \begin{align*} y\prime = f(x) \\ y\prime\prime = f(x) \\ \end{align*} & \quad \begin{align*} ex)\quad \frac{dy}{dx} = 6x^2 + 4 \end{align*} \end {matrix}

Separable D.E.

왼쪽은 y에 대해서만, 오른쪽 x에 대해서만 나오도록 정리. 양쪽을 각각 y, x에 대해서 적분하면 됨.

\begin{matrix} \begin{align*} \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \quad \rightarrow \end{align*} \begin{align*} \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx \\ \int \frac{1}{g(y)}dy = \int f(x)dx \end{align*} \end{matrix}

예1)

\begin{align*} y\prime = \frac{x}{y} \quad \rightarrow \quad ydy = xdx \\ \int ydy = \int xdx \\ \frac {1}{2}y^2 + C_1 = \frac{1}{2}x^2 + C_2 \\ y^2 = x^2 + C \; or \; y = \pm \sqrt{x^2 + C} \end{align*}

예2)

\begin{align*} \frac{dy}{dx} - x = xy^2 \\ \int \frac{1}{y^2+1}dy = \int xdx \\ tan^{-1} y + C_1= \frac{1}{2}x^2 + C_2 \\ \therefore \quad y = tan(\frac{1}{2}x^2 + C) \end{align*}

Linear 1st. order eq. : Intergrating factor

\begin{align*} \frac{dy}{dx} + p(x)dy = q(x) \end{align*}

Integrating factor 는 다음과 같다.

\begin{gather*} \frac{d(uy)}{dx} = uy\prime + u\prime y \\ \frac{du(x)}{dx} = up(x) \quad 를 \; 만족하는 \quad u \quad 를 \; 가정하면, \\ \int \frac{du}{u} = \int pdx \\ ln|u| = \int pdx \\ u = e^{\int pdx} \quad : Integrating \; factor! \end{gather*}

위에서 구한 integrating factor를 원래 식의 양변에 곱하면,

uy\prime + upy = uq \\ \rightarrow uy\prime + u\prime y = uq \\ \rightarrow d(uy)/dx = uq

결과적으로 integrating factor를 곱해줌으로 해서, seperable 형태로 바뀜.

예 1)

y\prime + y = e^x

integrating \; factor \;u = e^{\int pdx} = e^x \\ e^x(y\prime + y) = e^{2x} \\ \frac{d(e^x y)}{dx} = ye^x = \int e^{2x}dx \\ = \frac{1}{2}e^{2x} + C \\ \therefore y = \frac{1}{2}e^x + Ce^{-x}

예 2) RL circuit

KVL : V - V_R - V_L = 0 \\ \begin{cases} V_R = IR \\ V_L = L \frac{dI}{dt} \end{cases}

L \frac{dI}{dt} + RI = V

I\prime + \frac{R}{L}I = \frac{V}{L} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ u = e^{\int \frac{R}{L}dt} = e^{\frac{R}{L}t} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \int e^{\frac{Rt}{L}}[\frac{dI}{dt} + \frac{R}{L}I]dt = \int \frac{V}{L}e^{\frac{Rt}{L}}dt \\ \begin{align*} \end{align*} \\ e^{\frac{Rt}{L}}I = \int \frac{V}{L}e^{\frac{Rt}{L}}dt = \frac{V}{R}e^{\frac{Rt}{L}} + C \\ \begin{align*} \end{align*} \\ I = \frac{V}{R} + Ce^{-Rt/L} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ I(0) = I_0, I_0 = \frac{V}{R} + C, C = I_0 - \frac{V}{R} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ I(t) = \frac{V}{R} + (I_0 - \frac{V}{R})e^{-Rt/L}

Homogeneous 1st order D.E.

Not Separable, Non linear 한 경우 Substitution Methods 를 사용. 1) Homogeneous, 2) Bernoulli
여기서 homogeneous는 linear equation을 말하는게 아님.

\text{If the eq. is in the form, } \frac{dy}{dx} = f(x, y) \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \equiv M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{homogeneous condition : } f(x, y) = f(tx, ty)

위의 조건을 만족하면, homogeneous. 이건 homogeneous test 에 사용될 수 있음.

이 경우, substitution method는 다음과 같이 치환하는 것.

\begin{cases} \quad y = vx \quad or \quad v = y/x\\ \quad dy = vdx + xdv \end{cases}

이를 적용하면, 원래식이 seperable이 된다.

\frac{dy}{dx} = f(x, y) \\ \begin{align*} \end{align*} \\ [ vdx + xdv ] = f(x, y)dx = f(tx, ty)dx \\ \begin{align*} \end{align*} \\ t = 1/x \;\text{로 놓으면}, f(tx, ty) = f(1, y/x) = f(y/x) = f(v) \begin{align*} \end{align*} \\ \therefore \frac{1}{f(v) + v}dv = \frac{1}{x}dx

예)

\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ f(tx, ty) = \frac{tx}{ty} + \frac{ty}{tx} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = f(x, y) \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \therefore \text{Homogeneous equation} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ y = vx, dy = vdx+xdv \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \frac{vdx + xdv}{dx} = \frac{x}{vx} + \frac{vx}{x} \begin{align*} \end{align*} \\ xdv = \frac{1}{v}dx \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \int vdv = \int \frac{1}{x}dx \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \frac{1}{2}v^2 = ln|x| + C \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \frac{1}{2}(\frac{y}{x})^2 = ln|x| + C \\ \begin{align*} \end{align*} \\ y^2 = 2x^2ln|x| + Cx^2 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \therefore y = \pm \sqrt{2x^2ln|x| + Cx^2}

Bernoui D.E.

\frac{dy}{dx} + f(x)y = g(x)y^n

v = y^{1-n} \quad \text{substitution} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ n = 1 \quad \text{이면} \quad \text{linear} \quad \therefore n \neq 0, 1 \text{인 경우,} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{substitution을 이용하면 linear형태로 변환 가능}

예)

\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = xy^2

v = 1/y, \frac{dv}{dx} = - \frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} \quad \text{substitution을 적용} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x}v = -x \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{integrating factor : } e^{\int \frac{1}{x} \cdot dx} = e^{lnx} = x \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \int [x \frac{dv}{dx} + v]dx = - \int x^2 dx \\ \begin{align*} \end{align*} \\ xv = -\frac{1}{3}x^3 + C \\ \begin{align*} \end{align*} \\ v = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{C}{x} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \frac{1}{y} = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{x}C = \frac{-x^3 +3C}{3x}, 3C -> C \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \therefore y = \frac{3x}{C - x^3}

Exact D.E.

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{is exact if there exists a continuously differentiable function } f, \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \frac{\partial f}{\partial x} = M, \frac{\partial f}{\partial y} = N

f(x, y) \text{가 연속인 편도함수를 가지면,} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ df = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot{dy} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ f(x, y) = C \quad \text{라면, chain rule에 의해(또는 위의 df사용),} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx} = 0 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ f_x + f_y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \frac{dy}{dx} = - \frac{f_x}{f_y} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \therefore \text{이와 같은 형태의 미분방정식의 해는} \; f(x, y)= C \; \text{가 된다.}

\nabla f(x, y) = < f_x, f_y > \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{vector field : } \vec F = < M, N > \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \vec F \text{는 gradient vector field = Slope field}

Exactness test 조건 :

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \frac{\partial f}{\partial x} = M, \frac{\partial f}{\partial y} = N \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{를 만족하는} \; f \; \text{가 존재한다고 가정하자}\\ \text{이 함수가 연속이고, 1차 편미분 또한 연속일 때,}\\ \begin{align*} \end{align*} \\ f_{xy} = f_{yx} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ M_y = N_x \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{반대로 } M_y \neq N_x \quad \text{이면} \quad f \quad \text{는 존재하지 않음.} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \therefore \text{exactness test 조건이 됨.}

간단히 말해, M을 y에 대해 미분, N을 x에 대해 미분하여 두 값이 같은지 비교해보면 exact D.E.인지 확인이 가능하다.

해를 구하는 방법

M, N을 각각 x, y에 대해 적분해보면 둘 다 f(x, y)이므로 이 값을 비교해보면 f(x, y)를 구할 수 있다.

\int M dx = \int N dy = f(x, y)

예)

(x^2 + xy^2)dx + (x^2y - y^3)dy = 0

M_y = 2xy = N_x \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \therefore \text{exact D.E.} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \int Mdx = \int {x^2 + xy^2}dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2y^2 + C(y) \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \int Ndy = \int{x^2y-y^3}dy = \frac{1}{2}x^2y^2 - \frac{1}{4}y^4 + C(x) \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{compare these two, } \\ \begin{align*} \end{align*} \\ C(y) = -\frac{1}{4}y^4 + C_1, C(x) = \frac{1}{3}x^3 + C_2 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \therefore f(x, y) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2y^2 -\frac{1}{4}y^4 = C

Linear 2nd order D.E.

ay\prime\prime(x) + by\prime(x) + cy(x) = g(x)

g(x) = 0 이면, homogeneous equation.

ay\prime\prime(x) + by\prime(x) + cy(x) = 0

General solution for homogeneous eq.

lenearity에 의해, y1, y2가 방정식의 해라면 여기에 상수를 곱해도 여전히 해이고, y1, y2의 조합도 해가된다.

y_1, y_2 \; \text{가 special solution 이고, linearly independent 일 때,} \\ y = C_1y_1 + C_2y_2

General solution for Non-homogeneous eq.

방정식을 만족시키는 특수해 $y_p$ 를 찾으면, homogeneous solution에 이것만 더하면 일반해가 된다.

y = y_c + y_p, \\ y_c : \text{complementary solution, } \\ y_p : \text{particular solution } \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \therefore y = C_1y_1 + C_2y_2 + y_p

general solution을 방정식에 대입해보면, $y_c$ 는 0이 되고, $y_p$ 만 남아 g(x)가 된다.

이제, 선형 2차 미분 방정식의 해를 구하는 다양한 방법을 케이스 바이 케이스로 알아보자.

2nd order D.E. : Reduction of Order.

하나의 해를 알고 있을 때, 나머지 해를 구하는 방법. 제목대로 치환을 해서 2차 미분 방정식을 1차 미분 방정식으로 낮춰서 푸는 방법이다.

\text{이미 알고 있는 해를 } \; y_1 \; \text{이라 하면,} \\ \text{나머지 하나의 해는 } \; y(x) = u(x)y_1(x) \\ \text{이 해를 대입해서 u(x)를 구하면 된다.}

이와같이 u(x)를 구하는 과정에서 2차 미분 방정식을 1차 미분 방정식으로 치환하는 과정이 추가로 나오게 됨.

예)

x^2y\prime\prime + 3xy\prime + y = 0, \quad y_1 = \frac{1}{x}

y = uy_1 \; \text{이라고 놓으면,} \; y = u\cdot\frac{1}{x} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ y\prime = u\prime \frac{1}{x} + u(-\frac{1}{x^2}), \quad y\prime\prime = u\prime\prime\frac{1}{x} - u\prime\frac{2}{x^2} - u(\frac{2}{x^3}) \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{방정식에 대입하면,} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ x^2[u\prime\prime\frac{1}{x} - u\prime\frac{2}{x^2} + u\frac{2}{x^3}] + 3x[u\prime\frac{1}{x} - u\frac{1}{x^2}] + u\frac{1}{x} = 0 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ xu\prime\prime + u\prime = 0 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ v = u\prime \; \text{으로 치환하면,} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ xv\prime + v = 0 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{seperable 1st order D.E으로 v를 구할 수 있다.}\\

\frac{dv}{dx}x = -v \\ \begin{align*} \end{align*} \\ -\frac{1}{v}dv = \frac{1}{x}dx \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \ln v = -\ln x + C_1 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ v = e^{-\ln 1/x}\cdot e^{C_1}, \; e^{C_1} \rightarrow C_1 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ v = C_1e^{-\ln 1/x} = \frac{C_1}{x} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \therefore u = C_1\ln x + C_2 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ \text{general solution : } \; y = uy_1 = C_1\frac{\ln x}{x} + \frac{C_2}{x}

Reduction of Order : Non-homogeneous

예)

y\prime\prime - 5y\prime + 6y = e^{-x}, \quad y_1 = e^{3x}

\begin{aligned} \text{let,} \quad &y = uy_1 = ue^{3x} \\ &y\prime = u\prime e^{3x} + 3ue^{3x} \\ &y\prime\prime = u\prime\prime e^{3x} + 6u\prime e^{3x} + 9ue^{3x} \end{aligned}

위 값들을 원래 식에 대입하면,

\begin{aligned} &e^{3x}[u\prime\prime + 6u\prime + 9u - 5(u\prime 3u) + 6u] &= e^{-x} \\ &u\prime\prime + u\prime &= e^{-4x} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{let,} \quad &v = u\prime ,\\ &v\prime + v = e^{-4x} \\ &\frac{dv}{dx} + v -e^{-4x} = 0 \\ \text{integrating factor : } \quad &e^{\int1\cdot dx} = e^x ,\\ &e^x \frac{dv}{dx} + e^xv - e^{-3x} = 0 \\ &[ve^x]\prime = e^{-3x} \\ &ve^x = \int e^{-3x}dx = -\frac{1}{3}e^{-3x} +C_1 \\ &v = -\frac{1}{3}e^{-4x} + C_1e^{-x} \\ u = \int vdx &=\frac{1}{12}e^{-4} + C_1e^{-x} + C_2 \\ \therefore y &= \frac{1}{12}e^{-x} + C_1e^{2x} + C_2e^{3x} \end{aligned}

2nd order D.E. : Constant Coefficients

다음과 같이, coefficients 가 constant 일 때 풀이방법이다.

ay\prime\prime + by\prime +cy = 0 \\ \text{a, b, c are constants}

이렇게 constant coefficients를 갖는 경우는 다음의 해를 이용한다.

\begin{aligned} \text{let, }\quad &y = e^{mx} \\ &y\prime = me^{mx} \\ &y\prime\prime = m^2e^{mx} \end{aligned}

이 값들을 원래 방정식에 넣어보면,

e^{mx}(am^2 + bm + c) = 0 \\ \begin{align*} \end{align*} \\ e^{mx} \;\text{는 0이 아니므로,} \\ \begin{align*} \end{align*} \\ am^2+bm+c = 0\\

coefficients들의 단순 2차방정식을 풀면 해를 구할 수 있다. 이 2차방정식을 characteristic polynomial form 이라고 부른다. 2차방정식의 해가 실수인 2개인 경우는 문제가 없는데, 중복해로 하나만 존재하는 경우, 허수의 해가 존재하는 경우가 문제다. 각 케이스별로 어떻게 풀어야 하는지 차차 알아볼 것이다.

i) 두 개의 실수 해를 갖는 경우,

예)

y\prime\prime + 3y\prime + 2y = 0

characteristic eq.

\begin{aligned} m^2 +3m + 2 = 0 \\ (m+1)(m+2) = 0 \\ m = -1, -2 \\ \therefore y = C_1e^{-x} + c_2e^{-2x} \end{aligned}

ii) 중복해, 하나의 해 $y = e^{mx}$ 인 경우, $y = xe^{mx}$ 를 또 다른 해로 놓으면 된다.

\begin{aligned} \text{let, } \; y &= xe^{mx} \\ y\prime &= e^{mx} + mxe^{mx} \\ y\prime\prime &= 2me^{mx} + m^2xe^{mx} \end{aligned}

위의 값을 방정식에 대입하면,

a[2me^{mx} + m^2e^{mx}] + b[e^{mx} + mxe^{mx}] + cxe^{mx} \\ e^{mx}[2am + axm^2+b+bxm+cx] \\ e^{mx}[x(am^2+bm+c) + (2am+b)] \\ am^2 +bm +c=0 \; \text{이므로, }\\ e^{mx}(2am+b) \\ \text{해가 하나라는건, }\; m = \frac{-b}{2a} \; \text{이고 이를 대입하면, 방정식이 0이 됨을 알 수 있다.}\\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \therefore y = xe^{mx} \; \text{is another solution}

예)

\begin{aligned} y\prime\prime + 2y\prime + y = 0 \\ m^2 + 2m + 1 = 0, \\ (m+1)^2 = 0, \;m = -1 \\ y = C_1e^{-x} + C_2xe^{-x} \end{aligned}

iii) complex solution을 갖는 경우: $m = \alpha \pm \beta i$

위의 해로부터, 다음과 같은 일반해를 갖는다.

y = e^{\alpha x}(C_1cos\beta x + c_2sin\beta x)

증명)

Euler’s Formula :

\begin{aligned} e^{\beta i x} &= cos\beta x + isin\beta x \\ e^{-\beta ix} &= cos(-\beta x) + isin(-\beta x) = cos(\beta x) - isin(\beta x) \end{aligned}

y = e^{(\alpha \pm \beta i)x} \\ y_1 = e^{\alpha x}\cdot e^{\beta ix}, \; y_2 = e^{\alpha x}\cdot e^{-\beta ix} \\ y_1 = e^{\alpha x}[cos\beta x + isin\beta x], \; y_2 = e^{\alpha x}[cos\beta x - isin\beta x] \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \text{let, } \begin{cases} k_1 = \frac{1}{2}y_1 + \frac{1}{2}y_2 = e^{\alpha x}cos\beta x\\ k_2 = \frac{1}{2i}y_1 + \frac{1}{2i}y_2 = e^{\alpha x}sin\beta x\\ \end{cases} \\ k_1, k_2 \; \text{는}\; y_1, y_2\;\text{의 linear combination 이므로,} \\ \text{새로운 lineary independent solution 이다.} \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \therefore y = e^{\alpha x}(C_1cos\beta x + C_2sin\beta x)

예)

y\prime\prime - 2y\prime +5y = 0 \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ m = \frac{2\pm\sqrt{4 - 4\times 5}}{2} = 1\pm2i \\ \therefore y = e^x(C_1cos2x + C_2sin2x)

2nd order D.E. : Undetermined Coefficients

앞의 Constants coefficients 로 다룬건 homogeneous eq.의 경우이고, 여기선 non-homogeneous 인 경우를 다룬다.

ay\prime\prime + by\prime + cy = g(x)

앞의 constant coefficients 방법을 이용해서 homogeneous 인 경우의 해를 구해놓고 여기에 특수해를 구하면 그것이 non-homogeneous 인 경우의 일반해가 된다.

특수해 $y_p$ 는 g(x)의 형태에 따라 다음과 같다.

\begin{matrix} g(x) \quad\rightarrow &y_p\\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \text{Constant} &A \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \text{Linear Polynomial} & Ax +B \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \text{Quadratic Polynomial} & Ax^2 + Bx + C \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ sin\alpha x \;\text{or} \; cos\alpha x &Acos\alpha x +Bsin\alpha x \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ e^{\alpha x} &Ae^{\alpha x} \end{matrix}

예)

y\prime\prime + 3y\prime + 2y = 8

\text{i) homogeneous solution(constant coefficient)} \\ m^2 + 3m + 2 = 0 \\ (m+1)(m+2) = 0, \; m = -1, -2 \\ y_c = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x} \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \text{ii)} g(x) \;\text{is constant form} \\ y_p = C \\ 0 + 3\cdot0 +2\cdot C = 8 \\ \therefore C = 4, \; y_p = 4 \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \text{general solution : }\; y = y_c + y_p = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x} + 4

Exceptional case : $y_p$ is linearly dependent $y_c$

$y_p$ 가 $y_c$ 에 linearly dependent 하다면 이 $y_p$ 는 특수해를 만족시키지 못해 쓸 수 없다. 이럴 땐, 기존에 사용하려고 했던 $Ae^{\alpha x}$ 에 constant coefficients에서 중복해의 경우처럼 x를 곱해 사용한다. 중복되는 해를 임의로 $y_1$ 이라고하면 이 해는 $e^{mx}$ 형태이므로,

y_p = A\cdot x\cdot y_1 = A\cdot x\cdot e^{mx}

이 값을 방정식에 적용하기 위해 미분해보면,

\begin{aligned} y_p &= A\cdot xy_1 \\ y_p\prime &= A\cdot(xy_1)\prime =A\cdot y_1 + A\cdot xy_1\prime\\ y_p\prime\prime &= A\cdot(xy_1)\prime\prime = A\cdot 2y_1\prime + A\cdot xy_1\prime\prime \end{aligned}

이를 방정식에 대입하면,

A\cdot [a(xy_1\prime\prime + 2y_1\prime) + b(xy_1\prime + y_1) + cxy_1] = g(x) \\ A\cdot [x(ay_1\prime\prime + by_1\prime + cy_1) + 2ay_1\prime + by_1] = g(x) \\ ay_1\prime\prime + by_1\prime + cy_1 = 0 \; \text{이므로, } \\ A\cdot [2ay_1\prime + by_1] = g(x) \\

특수해가 중복되는 경우는 g(x) 가 $e^{m x}$ 인 경우이므로,

A\cdot (2a + b)e^{mx} = e^{m x} \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ A = \frac{1}{2a+b}

위와같이 A를 구하면, $A\cdot x\cdot e^{mx}$ 로부터 $y_p$ 를 구할 수 있다.

예)

y\prime\prime + 3y\prime +2y = e^{-2x}

m^2 + 3m + 2 = 0 \\ (m+1)(m+2) = 0 \;, m = -1, -2 \\ y_c = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x} \\ g(x) = e^{-2x} \rightarrow y_p = Ae^{-2x}

특수해가 보조해와 중복된다.

\text{let, }\; y_p = Axe^{-2x} \\ y_p\prime = A2^{-2x} + Ax(-2e^{-2x}) \\ y_p\prime\prime = -4Ae^{-2x} + 4Axe^{-2x}

위 값을 대입해보면,

[-4Ae^{-2x} + 4Axe^{-2x}] + 3[Ae^{-2x} - 2Axe^{-2x}] + 2[Axe^{-2x}] = e^{-2x} \\ -Ae^{-2x} = e^{-2x} \\ \therefore A = -1

해는 다음과 같다.

y_p = -xe^{-2x} \\ y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x} - xe^{-2x}

Wronskian For a Group of Functions

n개의 주어진 함수에 대해 Wronskian은 다음과 같이 정의

W = det \begin{bmatrix} y_1 &... &y_n \\ y_1\prime & &y_n\prime \\ y_1\prime\prime &\ddots &y_n\prime\prime \\ \vdots & &\vdots \\ y_1^{(n-1)} & &y_n^{(n-1)} \\ \end{bmatrix}

정확한 증명은 이해를 못했지만, 대략 다음과 같이 정리가능.

n개의 함수들 $y_1, y_2, \dots y_n$ 과 이들의 미분으로 만들어진 matrix A와 n개의 element $C_1, C_2, \dots C_n$ 으로 구성된 벡터 C를 다음과 같이 써보자.

\begin{bmatrix} y_1 &... &y_n \\ y_1\prime & &y_n\prime \\ y_1\prime\prime &\ddots &y_n\prime\prime \\ \vdots & &\vdots \\ y_1^{(n-1)} & &y_n^{(n-1)} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \\ C_3 \\ \vdots \\ C_n \end{bmatrix} = 0

A가 singular matrix( det(A) = 0 )이면, A의 역행렬이 존재하지 않으므로,

C_1y_1 + C_2y_2 + \dots + C_ny_n = 0 \\ C_1y_1\prime + C_2y_2\prime + \dots + C_ny_n\prime = 0 \\ \vdots \\ C_1y_1^{n-1} + C_2y_2^{n-1} + \dots + C_ny_n^{n-1} = 0 \\

즉,

C_1y_1 = -(C_2y_2 + \dots + C_ny_n)

와 같이 n개의 함수들은 서로 다른 함수에 대해 dependent하다.

A의 역행렬이 존재(det(A) $\ne$ 0) 하면, C는 trivial solution zero vector 만 갖게 되므로 n개의 함수 $y_1, y_2, \dots y_n$ 는 서로 linearly independent 하다.

다시말해,

W(x) \ne 0 \quad \rightarrow y_1, y_2, \dots, y_n \quad \text{are linearly independent}

예)

e^{4x}, xe^{4x}

W = \begin{vmatrix} e^{4x} &xe^{4x} \\ 4e^{4x} &e^{4x} + 4xe^{4x} \\ \end{vmatrix} = e^{8x} \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \therefore e^{4x} \quad \text{and} \quad xe^{4x} \quad \text{are linearly independent}

exponential에 x를 곱하면 서로 linearly independent 한걸 여기서 보여주기 때문에. 앞에서 constant coefficient의 중복해나 undetermined coefficent에서 exponential 형태의 해가 겹칠 때, x를 곱해준게 어떻게 다른 해가 되는지 여기서 알 수 있다.

2nd order D.E. : Variation of Parameters

y\prime\prime + P(x)y\prime + Q(x)y = g(x)

y_c = C_1y_1 + C_2 y_2 \quad \text{일 때,}\\ y_p = u_1(x)y_1 + u_2(x)y_2 \quad \text{라고 놓고} \; u_1, u_2 \text{를 구하는 방법.}

\begin{aligned} y_p &= u_1y_1 + u_2y_2 \\ y_p\prime &= u_1\prime y_1 + u_1y_1\prime + u_2\prime y_2 + u_2y_2\prime \\ y_p\prime\prime &= u_1\prime\prime y_1 + u_1\prime y_1\prime + u_1\prime y_1\prime + u_1y_1\prime\prime + u_2\prime\prime y_2 + u_2\prime y_2\prime + u_2\prime y_2\prime + u_2y_2\prime\prime \\ &= u_1\prime\prime y_1 + 2u_1\prime y_1\prime + u_1y_1\prime\prime + u_2\prime\prime y_2 + 2u_2\prime y_2\prime + u_2y_2\prime\prime \end{aligned}

방정식에 대입하면,

\begin{aligned} [u_1\prime\prime y_1 + 2u_1\prime y_1\prime + u_1y_1\prime\prime + u_2\prime\prime y_2 + 2u_2\prime y_2\prime + u_2y_2\prime\prime] + \\ P(x)[u_1\prime y_1 + u_1y_1\prime + u_2\prime y_2 + u_2y_2\prime] + \\ Q(x)[u_1y_1 + u_2y_2] = g(x) \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \begin{aligned} u_1[y_1\prime\prime + P(x)y_1\prime + Q(x)y_1] +\\ u_2[y_2\prime\prime + P(x)y_2\prime + Q(x)y_2] + \\ (y_1u\prime\prime + y_1\prime u_1\prime) + (y_2u_2\prime\prime + y_2\prime u_2\prime) + P(x)(y_1u_1\prime + y_2u_2\prime) + y_1\prime u_1\prime + y_2\prime u_2\prime = g(x) \end{aligned} \\

앞의 두 항은 homogeneous eq. 의 해 이므로 0이 됨. 마지막 항은 괄호로 묶은 부분을 정리해보면,

\frac{d}{dx}(y_1u_1\prime + y_2u_2\prime) + P(x)(y_1u_1\prime + y_2u_2\prime) + y_1\prime u_1\prime + y_2\prime u_2\prime = g(x) \\ y_1u_1\prime + y_2u_2\prime = 0 \quad \text{을 만족한다고 가정(일종의 trick),} \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \begin{cases} &y_1u_1\prime + y_2u_2\prime = 0 \\ &y_1\prime u_1\prime + y_2\prime u_2\prime = g(x)\\ \end{cases} \\ \begin{aligned} \end{aligned} \\ \rArr \begin{bmatrix} y_1 &y_2 \\ y_1\prime &y_2\prime \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\prime \\ u_2\prime \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ g(x) \\ \end{bmatrix} \\

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